Le test en détail / Contenu du test

Quantification

Les procédures de quantification permettent de déterminer la numérosité de collections d'éléments. Elles sont au nombre de trois : le subitizing, le dénombrement et l'estimation globale (non encore investiguée dans MathEval). Nous traitons ici du subitizing et du dénombrement.

Subitizing

Processus qui permet de déterminer d'une manière rapide, globale et précise la numérosité de petites collections d'éléments sans avoir recours au dénombrement. Ce processus se distingue clairement :

• du dénombrement, processus relativement lent mais qui débouche sur la numérosité exacte d'une collection d'éléments ;
• de l'estimation globale, processus rapide mais qui conduit à une quantification approximative ; il n'intervient que lorsque le nombre d'éléments est très grand et/ou le temps disponible est très réduit — c'est ce procédé qui est, par ex., à la base des chiffres avancés concernant le nombre de personnes présentes lors d'une manifestation.

On distingue habituellement deux types de subitizing :

• le subitizing conceptuel (ou spatial) — fait appel à la reconnaissance de patterns (schèmes), soit spatiaux (ex. 5 points disposés comme sur un dé), soit spatiaux et kinesthésiques (doigts d'une main levés), soit même rythmiques. Ce type de subitizing, qui se développe progressivement à partir du subitizing perceptif grâce à l'expérience et l'entraînement, constitue sans doute l'une des aptitudes à la base du sens du nombre cardinal et de la construction des habiletés arithmétiques (cf. la « collection-témoin » de Rémi Brissiaud). Il est évalué à l'aide de collections-témoin de doigts, présentées sous forme de dessins.
• le subitizing perceptif — correspond à la définition princeps, parce qu'il ne fait appel à aucune connaissance préalable. Il est évalué au sein du test en demandant à l'enfant de quantifier des collections de points disposés de manière quelconque.

Dénombrement

Dénombrer, c'est mettre en correspondance terme à terme les éléments de la suite conventionnelle des noms des nombres avec les éléments d'une collection, de manière à déterminer le cardinal de cette dernière. Le dénombrement repose donc sur la coordination et la maîtrise, au moins partielle, de deux activités : l'énonciation de la suite conventionnelle des nombres, et l'activité de pointage des éléments à dénombrer.

Selon Gelman et Gallistel (1978), un comptage correct repose sur la maîtrise et la coordination de 5 principes :

• Principe de correspondance terme à terme — un seul mot-nombre est associé à chaque élément appartenant à l'ensemble à dénombrer.
• Principe d'ordre stable — les mots-nombres servant à dénombrer les éléments d'une collection sont toujours énoncés selon une séquence stable. Pour que ce principe soit considéré comme acquis, il n'est pas nécessaire que la suite soit conventionnelle ; si un enfant utilise une séquence non conventionnelle, il faut lui demander de recompter pour s'assurer du caractère stable de la séquence.
• Principe cardinal — l'enfant prend conscience du fait que le dernier mot-nombre énoncé lors d'un comptage correspond au nombre total d'éléments de l'ensemble dénombré. Si l'on arrête l'enfant en cours de comptage en lui demandant combien d'objets il a comptés jusqu'à présent, il cite simplement le dernier mot-nombre énoncé.
• Principe de non-pertinence (ou d'indifférence) de l'ordre — l'ordre dans lequel les éléments sont dénombrés n'affecte pas le cardinal d'une collection, tant que les autres principes sont respectés.
• Principe d'abstraction — l'hétérogénéité (vs l'homogénéité) des éléments n'a pas d'impact sur leur dénombrement. Les éléments à dénombrer, indépendamment de leurs qualités sensibles, sont considérés en tant qu'unités distinctes, dénombrables.

Une digression sur l'abstraction : le piège des « carrés »

On peut s'interroger sur l'utilité des épreuves qui consistent à demander à l'enfant de dénombrer des ensembles composés de lapins et de crocodiles, la capacité d'abstraction étant considérée comme acquise si l'enfant additionne les deux pour obtenir le nombre d'animaux. A-t-on jamais rencontré un enfant incapable d'une telle abstraction ? A-t-on, en fait, bien évalué ainsi la capacité d'abstraction ?

Pour s'en convaincre, examinez ce dessin et répondez : « Tu vois les dessins ci-dessous ? Dis-moi d'abord combien il y en a. »

La réponse la plus naturelle est généralement « 4 » (les 4 grands carrés). Mais si l'on insiste sur les plus petits carrés inclus dans les grands, le compte grimpe à 4 + 4×25 = 29. En réalité, en comptant méthodiquement tous les carrés de toutes tailles, on en trouve... 220 — (5² + 4² + 3² + 2² + 1) × 4.

Cette question, en apparence toute simple, « combien y en a-t-il ? » est susceptible d'engendrer une multitude de réponses correctes selon que l'on considère les segments, les droites, les angles droits, les surfaces, le nombre de couleurs utilisées, etc. L'abstraction ultime ne consiste-t-elle pas à additionner tous ces éléments en apparence disparates, mais qui n'en sont pas moins des « unités dénombrables » ? Pour ces raisons, le principe d'abstraction n'est pas évalué dans MathEval.

Évaluation des 4 principes dans MathEval

Dans un premier temps, le test évalue les 4 principes au moyen d'une tâche de production : l'enfant est invité à dénombrer une collection d'objets, et les principes sont évalués d'après la manière dont le dénombrement s'effectue.

• La correspondance terme à terme n'est évaluée qu'au travers d'une tâche de production.
• Le principe d'ordre stable est évalué grâce à une tâche de détection, en cas d'échec en production.
• En cas d'échec, le principe cardinal est évalué, toujours au moyen d'une tâche de production, en proposant une collection plus petite à l'enfant.
• L'épreuve de non-pertinence de l'ordre est évaluée uniquement au moyen d'une épreuve de détection.