Analyses statistiques / 2011

Corrélations

Quel coefficient de corrélation utiliser ?

Avant de calculer et commenter les corrélations deux à deux entre tous les sous-tests de MathEval, la note globale, les tests de dépistage de 3^ème maternelle et l'appréciation de l'enseignant, il est nécessaire de choisir le bon coefficient : de Bravais-Pearson (méthode paramétrique, préférable si les notes brutes ne s'écartent pas trop d'une distribution normale) ou des rangs de Spearman (si les données s'écartent trop d'une distribution gaussienne).

Le critère d'application est large : les méthodes paramétriques sont applicables dès que le degré d'asymétrie (skewness) de la distribution se situe dans l'intervalle [-1 ; 1]. C'est le cas pour la plupart des sous-tests, à l'exception de :

• « Subitizing » : effet plafond (épreuve très bien réussie, ne discrimine que les élèves extrêmement faibles) ;
• « Lecture » et « Écriture » des nombres : effet plancher (apprentissages formalisés qui ne débutent vraiment qu'en 1^ère primaire — seuls les enfants qui excellent y sont correctement discriminés).

Les deux coefficients (Bravais-Pearson et Spearman) ne diffèrent pas significativement entre eux à la lecture des tableaux complets ; l'analyse qui suit porte donc, par souci de clarté, uniquement sur les corrélations de Bravais-Pearson.

Noms de variables à connaître : JodSpat et JodNb (sous-tests spatial et nombres du test expérimental « Jod »), JodTot (total du test expérimental), SmbIniz (test d'Inizan), ScoreCpter (comptine récitée à l'endroit) et CptineCplt (reste du sous-test comptine : comptage à rebours, par bonds, etc.).

Corrélation moyenne de chaque sous-test

Variable	Corrélation moyenne avec les autres variables	Corrélation avec le score total MathEval
Comptine	,48	,83
Dénombrement	,16	,22
Subitizing	,39	,61
Représentation des quantités	,40	,71
Addition	,45	,74
Soustraction	,41	,66
Écriture des nombres	,43	,72
Lecture des nombres	,34	,61
Classement de l'enseignant	,51	,61
JodSpat	,37	,32
JodNb	,33	,40
JodTot	,41	,38
Test d'Inizan	,40	,53(*)

(*) .47 sur l'échantillon élargi de 50 enfants testés en 2009-2010.

Parmi les sous-tests, celui qui entretient la corrélation la plus élevée — non seulement avec les autres sous-tests mais aussi avec le résultat total — est le sous-test « Comptine ».

Tableau complet des corrélations (Bravais-Pearson)

Le tableau complet — cité dans la version originale du site sous le nom Bravais-Pearson.pdf, mais non retrouvé lors de la reconstruction — a depuis été retrouvé dans les données brutes de 2011. Il confirme les chiffres déjà indiqués ci-dessus, tout en révélant deux informations supplémentaires.

Coefficients de Bravais-Pearson, échantillon 2011 (65 enfants — voir Introduction ; certains couples de variables comptent un peu moins d'enfants en raison de données manquantes ponctuelles). Une vérification croisée par les rangs de Spearman (méthode non paramétrique, moins sensible aux distributions atypiques) confirme chacun des deux constats ci-dessous, ce qui écarte l'hypothèse d'un artefact statistique. Cpter est une variable technique dont la définition précise n'a pas pu être retracée avec certitude ; à la lecture des données brutes, elle correspond vraisemblablement au niveau de comptage atteint par l'enfant (jusqu'où il sait compter), distinct du score attribué à cette performance (ScoreCpter) — à confirmer si l'occasion se présente.

• L'indépendance du Dénombrement n'est pas qu'une moyenne — elle est systématique. Sous-test par sous-test, Dénombrement reste faible ou nul avec absolument tous les autres : Comptine (,18), Additions (,18), Écriture des nombres (,04), Soustractions (-,02)... C'est la quatrième confirmation indépendante de ce même constat, sur des jeux de données différents : la saturation factorielle la plus faible en 2010, la corrélation moyenne la plus faible en 2010 comme en 2011, l'alpha de Cronbach le plus faible par sous-test en 2011, et maintenant l'ensemble de ses corrélations individuelles en 2011. Une convergence remarquable, pour un sous-test dont la valeur prédictive est par ailleurs contestée aujourd'hui par la recherche (voir la page Gnosies digitales). Sa corrélation avec le score total (,22, N=63) a d'ailleurs un intervalle de confiance à 95% qui frôle le zéro — [-,03 ; ,44] (transformation z de Fisher) — contrairement à celui de tous les autres sous-tests, qui excluent nettement zéro. ajout 2026
• JodTot n'apporte presque rien de plus que sa composante spatiale. JodTot corrèle à ,97 avec JodSpat, contre seulement ,46 avec JodNb : le score global du test expérimental « Jod » semble donc largement déterminé par son sous-test spatial, la partie « nombres » y contribuant peu.

Analyse factorielle

Une analyse factorielle a également été réalisée sur les 8 sous-tests de base de 2011 (extraction du premier facteur par décomposition en valeurs propres de la matrice de corrélations ci-dessus — la même méthode que celle utilisée pour l'analyse factorielle 2010, voir la page 2010).

Sous-test	Saturation sur le facteur
Écriture des nombres	,80
Comptine	,75
Lecture des nombres	,72
Additions	,70
Subitizing	,70
Représentation des quantités	,68
Soustractions	,67
Dénombrement	,16

Valeur propre du facteur : 3,64 — 45,5% de la variance (sur les 8 sous-tests de base de 2011 ; le facteur 2010 expliquait 28,7% sur 10 sous-tests — les deux batteries ne sont pas identiques, donc les pourcentages ne se comparent pas terme à terme, mais le profil des saturations, lui, l'est tout à fait).

Un seul facteur, ou plusieurs ? ajout 2026

La question se pose naturellement : si un facteur commun domine à ce point, les sous-tests mesurent-ils, au fond, tous la même aptitude ? Pour trancher, il faut regarder au-delà du premier facteur — la règle usuelle (critère de Kaiser) consiste à ne retenir que les facteurs dont la valeur propre dépasse 1. En 2010, le second facteur ne valait que 0,63 : aucun doute, un seul facteur est statistiquement défendable, ce que l'analyse d'origine avait d'ailleurs déjà conclu. En 2011, le second facteur atteint 1,057 — tout juste au-dessus du seuil. Voici ce qu'il contient :

Sous-test	Facteur 1 (45,5%)	Facteur 2 (13,2%)
Écriture des nombres	+,80	+,14
Comptine	+,75	-,19
Lecture des nombres	+,72	+,06
Additions	+,71	-,22
Subitizing	+,70	+,12
Représentation des quantités	+,68	+,16
Soustractions	+,67	+,15
Dénombrement	+,16	-,94

Ce second facteur n'est donc pas une véritable deuxième dimension partagée par plusieurs sous-tests : c'est Dénombrement, isolé. Toutes les autres saturations y restent sous ,22 ; Dénombrement, lui, y culmine à -,94. Autrement dit, les deux échantillons confirment indépendamment qu'un seul facteur général structure la batterie — pas 2, pas 3. C'est une 6^ème confirmation indépendante du cas particulier de Dénombrement, cette fois via la dimensionnalité plutôt que via une simple corrélation.

La comptine numérique : cause ou conséquence des performances en calcul ?

Il serait tentant de penser qu'une bonne connaissance de la comptine numérique « entraîne » de bonnes performances en calcul, au point qu'il suffirait d'améliorer la comptine pour augmenter les performances en calcul.

Il se fait que c'est totalement faux !

D'abord, une corrélation élevée entre deux variables A et B n'implique pas ipso facto un lien de cause à effet : A peut causer B, B peut causer A, ou A et B peuvent être sous la dépendance d'une troisième variable C. Pour l'illustrer, l'auteur cite l'exemple d'un article évoquant une corrélation positive entre l'utilisation de crème solaire et le cancer de la peau — en réalité, les deux ne sont que la conséquence d'une même variable explicative : l'exposition au soleil.

Ensuite, le sous-test Comptine n'est pas homogène : il évalue à la fois la comptine numérique classique (« ScoreCpter ») et des manipulations plus complexes — comptage à rebours, par pas de 2/5/10, comptine conditionnée par des bornes (« CptineCplt »). La corrélation de .83 entre Comptine et le score total se décompose ainsi : .535 pour ScoreCpter seul, .78 pour CptineCplt seul — CptineCplt contribue donc bien davantage au score total.

Corrélations partielles

À Total MathEval constant, le score à la comptine proprement dite (ScoreCpter) n'intervient plus dans le score Comptine, tandis que CptineCplt reste corrélé à .971 avec le score Comptine.

Sans variable de contrôle	CptineCplt	ScoreCpter	Comptine	Total
CptineCplt	1,000	,252*	,987**	,780**
ScoreCpter	,252*	1,000	,406**	,535**
Comptine	,987**	,406**	1,000	,826**
Total	,780**	,535**	,826**	1,000

Avec Total MathEval comme variable de contrôle	CptineCplt	ScoreCpter	Comptine
CptineCplt	1,000	-,313**	,971**
ScoreCpter	-,313**	1,000	-,076
Comptine	,971**	-,076	1,000

(*) corrélation significative au seuil .95 ; (**) au seuil .99.